مقدمة فى ظواهر الانتقال

هذا المقال يناقش ظواهر الانتقال الجزيئية بشيء من الإيجاز، و هي انتقال خاصية ما من موضع لآخر عن طريق حركة الجزيئات في نظام ما و الذي قد يكون صلباً أو سائلاً أو غازياً، و قد تكون هذه الخاصية المنتقلة إما طاقة حرارية أو كمية حركة أو حتى المادة (الكتلة) نفسها، حيث أن لكل جزيء من النظام قدر من تلك الخصائص.

 جمع وصياغة أولية: مهندس / نور الدين إبراهيم إسماعيل  

مراجعة علمية وصياغة نهائية: مهندس / محمد كمال عبدالعزيز

هذا المقال يناقش ظواهر الانتقال الجزيئية بشيء من الإيجاز، و هي انتقال خاصية ما من موضع لآخر عن طريق حركة الجزيئات في نظام ما و الذي قد يكون صلباً أو سائلاً أو غازياً، و قد تكون هذه الخاصية المنتقلة إما طاقة حرارية أو كمية حركة أو حتى المادة (الكتلة) نفسها، حيث أن لكل جزيء من النظام قدر من تلك الخصائص.
عندما يكون هناك اختلاف في تركيز الخصائص المذكورة بين موضعين في النظام تحدث تلك الظواهر للوصول لحالة من الاتزان، فإذا كان النظام غازياً -و كما نعلم أن جزيئات الغازات متباعدة عن بعضها البعض- فمن المنطقي أن يكون انتقال تلك الخصائص سريعاً و هذا لعدم ممانعة الجزيئات للانتقال (عددها قليل)، أما في حالة السوائل (كثافتها أكبر من الغازات) تكون الجزيئات متجمعة بشكل أكبر مما يزيد من المقاومة، كذلك الحال بالنسبة للمواد الصلبة تكون ممانعة الانتقال خلالها أكبر وأكبر.

يمكن التعبير رياضياً عن ظواهر الانتقال الجزيئي الثلاثة (كمية الحركة، الكتلة، الحرارة) بمعادلة عامة:

أي أننا في حاجة إلى قوى دافعة للتغلب على مقاومة النظام المعيقة للانتقال، كما أنه بتدقيق النظر نجد أن هذه المعادلة شبيهة بقانون أوم الذي يعبر عن انتقال التيار الكهربي، فمعدل تدفق الشحنات الكهربية في الموصل يتناسب طردياً مع فرق الجهد(القوى الدافعة) وعكسياً مع المقاومة.

يمكن وضع المعادلة السابقة في صورة أكثر دقة:

حيث:
Ψz يمثل الفيض (flux): و هو كمية الخاصية المنتقلة لكل وحدة زمن لكل وحدة مساحة عمودية على اتجاه الانتقال ووحدته (property unit/m².s)
δ تمثل الانتشارية (diffusivity): ثابت تناسب وحدته (m²/s)
Γ تركيز الخاصية: وحدته (property unit/m³)
Z المسافة المقطوعة خلال عملية الانتقال ووحدتها (m)

فإذا كانت العملية مستقرة(steady state) نجد أن الفيض لا تتغير قيمته مع الزمن، و بالعودة للمعادلة و فصل المتغيرات ثم التكامل نحصل على:

عند رسم العلاقة بين المسافة المقطوعة z و تركيز الخاصية المنتقلة كما في الشكل التالي فإننا نلاحظ أن ميل الخط المستقيم الناتج يكون سالباً و ذلك لأن الانتقال يكون في اتجاه التركيز الأقل و هنا تكمن أهمية الإشارة السالبة في المعادلة ليكون الفيض موجباً.

مثال:

يتم انتقال خاصية ما بالانتشار خلال أحد الموائع وكانت عملية الانتقال مستقرة (steady state)، في الموضع 1 كان تركيز تلك الخاصية (property unit/m³) 1.37*10^-2 و في الموضع 2 كان التركيز (property unit/m³) 0.72*10^-2 على بعد 0.4 متر، بافتراض أن الانتشارية تساوى (m²/s)0.013 وأن مساحة المقطع ثابتة، احسب:

1) الفيض.
2) من معادلة الفيض اجعل التركيز دالة في المسافة.
3) التركيز عند منتصف المسافة.

الحل:
1) الفيض:

2) بإجراء التكامل:

ثم الترتيب:

3) عند المنتصف تكون z₂ = 0.2 و بالتعويض في المعادلة السابقة:

أما في حالة أن عملية الانتقال غير مستقرة (unsteady state) وأردنا استخدام معادلة الانتقال الجزيئي للتعبير عنها سيكون من الضروري عمل موازنة كلية على النظام للخاصية المنتقلة، تطبيقاً لمبدأي حفظ الطاقة والكتلة، فيجب أخذ قيم الداخل والخارج والمتولد والمتراكم في الاعتبار، بفرض أن الانتقال يحدث في اتجاه واحد وأن النظام محل الدراسة هو المكعب (b) في الشكل السابق و أن مساحة المقطع العمودية على اتجاه الانتقال هي1m² تكون المعادلة الموازنة هي:
لاحظ أن: rate = flux * area

سنرمز لمعدل الدخول بالرمز Ψzlz. 1 ووحدته (property unit/s)
معدل الخروج سنرمز له بالرمز 1.(Ψzlz+Δz) ووحدته (property unit/s)
وحيث أن R هي معدل التولد لكل وحدة حجم (property unit/s.m³)
فإن معدل التولد = R(Δz . 1) وحدته (property unit/s)
أما معدل التراكم - وحدته (property unit/s) – يساوى:

وبالتعويض في معادلة الموازنة نحصل على:

بالقسمة على Δz و جعلها تؤول للصفر:

ثم بالتعويض عن Ψz من معادلة الانتقال الجزيئي بفرض أن الانتشارية ثابتة:

و إذا لم يكن هناك تولد للخاصية محل الدراسة في النظام:

هذه المعادلة تربط بين تركيز الخاصية و موضعها في زمنٍ معين.

وتشير الإشارة إلى أن المعادلتان الأخيرتان هما معادلتان عامتان تستخدمان للتعبير عن ظواهر الانتقال الثلاثة و موازناتهم كما أنهما تختصان بالانتقال الجزيئي فقط ولا علاقة لهما بآليات الانتقال المختلفة الأخرى والتي سنتطرق لها في مقالات لاحقة.

النظرية الحركية للغازات تعطينا تفسيراً فيزيائياً جيداً لحركة الجزيئات المفردة في الموائع، حيث تكون الجزيئات في حركة عشوائية وتصادم مستمرين في جميع الاتجاهات وذلك بسبب طاقتها الحركية، فظواهر الانتقال الجزيئية الثلاث تحدث نتيجة لحركة تلك الجزيئات ويتم الانتقال في صورة فيض في جميع الاتجاهات، فإذا وجد انحدار للتركيز -اختلاف التركيز باختلاف الموضع- في نظام ما نجد أن الفيض يكون من الموضع ذي التركيز الأعلى إلى الموضع ذي التركيز الأقل.

انتقال كمية الحركة (momentum) و قانون نيوتن

عندما يتحرك مائع ما في الاتجاه x موازياً لسطحٍ صلبٍ، يحدث انحدار في سرعة سريان هذا المائع مما يعني أن سرعة المائع تصبح أقل كلما اقتربنا من السطح الصلب في الاتجاه العمودي على اتجاه السريان z، يمكن التعبير عن تركيز كمية حركة المائع (momentum unit = mass . velocity = kg.m/s) رياضياً في الصورة v_xρ و تكون وحدة التركيز ((kg.m/s)/m³)، و بسبب الانتشارية العشوائية لجزيئات المائع نجد أن عدد متساوي من الجزيئات ينتقل من الطبقات التي تتحرك بسرعة أعلى إلى الطبقات التي تتحرك بسرعة أبطأ في الاتجاهين (الموجب والسالب)، أي أن سريان المائع في الاتجاه x أدى إلى انتقال كمية الحركة في الاتجاه z من الموضع ذي السرعة الأعلى إلى الموضع ذي السرعة الأقل، و يمكن التعبير عن هذا الانتقال رياضياً باستخدام معادلة الانتقال الجزيئي -أو كما يطلق عليها قانون اللزوجة لنيوتن- بفرض ثبات الكثافة كما يلي:

حيث أن:
τzx هو فيض كمية الحركة في الاتجاه z وحدته ((kg.m/s)/s.m²) من وجهة نظر ظواهر الانتقال ولكن من وجهة نظر نيوتن وميكانيكا الموائع فهو إجهاد القص بين طبقات المائع و باختصار الوحدة السابقة نحصل على (kg/m.s² = N/m²).
ν معامل انتشارية كمية الحركة (momentum diffusivity) و هي حاصل قسمة اللزوجة المطلقة على الكثافة (µ/ρ) وحدتها (m²/s) وتسمى أيضا (kinematic viscosity)، z هو المسافة المقطوعة خلال الانتقال و وحدته m، ρ هي كثافة المائع وحدتها (kg/m³)، µ هي اللزوجة المطلقة وحدتها (kg/m.s).

انتقال الحرارة و قانون فورير

يمكن كتابة قانون فورير لانتقال الحرارة أو التوصيل الحراري في الموائع و المواد الصلبة كما يلي -بفرض ثبات الكثافة ρ والسعة الحرارية Cp-:

حيث أن:
q_z/A هو فيض الحرارة وحدته (J/s.m²)، α هي الانتشارية الحرارية وحدتها (m²/s)، ρCpT هو تركيز الطاقة الحرارية وحدته (J/m³)، عندما يكون هناك انحدار في درجة الحرارة، تنتقل الطاقة الحرارية من موضع لآخر في اتجاه درجة الحرارة الأقل.

انتقال المادة و قانون فيك

يمكن كتابة قانون فيك لانتقال المادة في الموائع أو المواد الصلبة بفرض ثبات التركيز الكلي في الصورة:

حيث أن J_Az هو فيض المادة A وحدته (kmol of A/s.m²)، D_AB هي انتشارية المادة A في المادة B وحدتها (m²/s)، c_A هو تركيز المادة A وحدته (kmol of A/m³)، وبالمثل عندما يكون هنالك انحدار في تركيز مادة ما في أحد المحاليل، تنتقل تلك المادة من موضع لآخر باتجاه التركيز الأقل.

مما سبق نجد أن معادلات الظواهر الثلاث لانتقال المادة هم في الأصل معادلة واحدة باختلاف تطبيقاتها، على الطرف الأيسر نجد الفيض و على الطرف الأيمن نجد الانتشارية و اشتقاقات تركيز الظواهر مقسومين على المسافة التي يحدث خلالها الانتقال، جميعهم متماثلون رياضياً، و لكن يجب التأكيد على أن الآليات الفيزيائية لحدوث تلك الظواهر مختلفة تماماً عن بعضها البعض، ففي انتقال المادة يتم انتقال مكونين (A,B) عن طريق حركتهما النسبية لبعضهما، وفي انتقال الحرارة في المواد الصلبة مثلاً تكون الجزيئات ثابتة مكانها لكن الانتقال يحدث عن طريق الإلكترونات، أما انتقال كمية الحركة فقد يحدث بعدة آليات، نتطرق في مقالات لاحقة لكل آلية من آليات انتقال الظواهر الثلاث.

المصادر والمراجع

[1] ” Introduction to Transport Phenomena: Momentum, Heat and Mass” by Raj B

[2]  “Transport Phenomena in Multiphase Flows (Fluid Mechanics and Its Applications)” by Roberto Mauri 

[3] “Transport Phenomena” by R.B.Bird, W.E. Stewart and E.N. Lightfoot